1. 서론: 암호학이란?
암호학(Cryptography)은 정보를 보호하고, 안전한 통신을 가능하게 하는 기술이다.
고대부터 정보 보호를 위해 암호가 사용되었으며, 현대에는 컴퓨터, 인터넷, 금융, 블록체인 등에서 필수적인 기술이 되었다.
📌 암호학의 핵심 질문:
“어떻게 하면 정보를 안전하게 암호화하고, 이를 해독하지 못하도록 보호할 수 있을까?”
💡 이 질문에 대한 해답을 제공하는 것이 바로 수학이다!
암호학은 수론, 대수학, 확률론, 정수론, 해시 함수 등 다양한 수학적 개념을 활용하여 보안을 강화한다.
이 글에서는 암호학과 수학의 관계, 주요 암호 기법, 그리고 미래 암호 기술을 소개하겠다. 🚀
2. 암호학에서 사용되는 주요 수학 개념
🔹 (1) 정수론 (Number Theory) 🔢
- 정수론은 소수(prime number), 최대공약수(GCD), 모듈러 연산(modular arithmetic) 등을 연구하는 수학 분야이다.
- RSA 암호, 디피-헬만 키 교환(Diffie-Hellman Key Exchange) 등은 정수론을 기반으로 한다.
✅ 예제:
- 소수 분해(Factoring Prime Numbers)
- 큰 수를 두 개의 소수의 곱으로 나누는 것은 매우 어렵다.
- 예: 391 = 17 × 23 (작은 숫자라면 쉽게 분해 가능하지만, 큰 수일수록 어렵다.)
- 현대 암호 시스템은 이 소인수분해의 어려움을 기반으로 설계된다.
🔹 (2) 모듈러 연산 (Modular Arithmetic) 🔄
- 모듈러 연산은 나머지를 구하는 연산이다.
- 암호 알고리즘에서 중요한 역할을 하며, 특히 공개키 암호 시스템에서 사용됨.
✅ 예제:
27mod 5=2
즉, 27을 5로 나누면 나머지가 2가 된다.
📌 RSA 암호화 알고리즘에서는 다음과 같은 모듈러 연산을 활용한다:
C=Me mod N
M=Cd mod N
(MMM은 원본 메시지, CCC는 암호화된 메시지, e,d,N은 키 값)
🔹 (3) 소수(prime number)와 암호학 🔢🔐
- 소수는 1과 자기 자신으로만 나누어지는 수이다.
- 소수의 곱은 매우 큰 수를 만들 수 있으며, 이 소수를 분해하는 것은 어려운 문제다.
- RSA 암호화는 두 개의 큰 소수를 곱한 값을 기반으로 보안을 유지한다.
📌 RSA 암호화의 핵심 아이디어:
- 두 개의 큰 소수 p,q를 선택한다.
- N=p×q를 계산하여 공개키 생성.
- 소수를 모르면 NNN을 소인수분해하기 매우 어려움 → 보안 유지!
🔹 (4) 대수학과 타원 곡선 암호(ECC) 🏹
- 타원 곡선 암호(ECC, Elliptic Curve Cryptography)는 기존의 RSA보다 더 강력한 보안을 제공하면서도 계산량이 적은 암호화 방식이다.
- ECC는 타원 곡선 방정식을 기반으로 키를 생성한다.
✅ 타원 곡선 방정식 예제:
y2=x3+ax+b
(ECC에서는 특정한 점들의 연산을 통해 보안성을 유지)
📌 ECC의 장점:
- RSA보다 작은 키 크기로도 강력한 보안 제공.
- 블록체인과 암호화폐(예: 비트코인)에서 ECC 서명 사용.
🔹 (5) 해시 함수(Hash Function)과 암호학 🔄
- 해시 함수는 입력값을 고정된 길이의 해시 값으로 변환하는 함수이다.
- 비밀번호 저장, 데이터 무결성 검사, 블록체인 기술 등에 사용됨.
✅ 예제 (SHA-256 해시 함수)
H(“Hello”)=f2ca1bb6c7e907d06dafe4687e579fce
- 입력값(“Hello”)가 주어지면 고유한 해시 값이 생성됨.
- 한 번 변환되면 되돌릴 수 없음(단방향 함수).
📌 암호학적 해시 함수의 특징:
- 같은 입력 → 항상 같은 출력
- 입력이 조금이라도 바뀌면 완전히 다른 출력
- 해시 값에서 원래 입력을 찾는 것은 불가능
✅ 활용:
- 비밀번호 저장: 비밀번호를 직접 저장하지 않고, 해시 값만 저장
- 블록체인: 거래 내역의 무결성 유지 (SHA-256 사용)
3. 주요 암호 알고리즘과 수학적 원리
| 암호 방식 | 사용되는 수학 개념 | 용도 |
|---|---|---|
| RSA | 소수, 모듈러 연산, 정수론 | 공개키 암호 |
| 디피-헬만(Diffie-Hellman) | 모듈러 연산, 지수 함수 | 키 교환 |
| 타원 곡선 암호(ECC) | 타원 곡선 대수학 | 공개키 암호 |
| AES | 행렬 연산, 선형대수 | 대칭키 암호 |
| SHA-256 | 해시 함수, 함수 해석 | 데이터 무결성 유지 |
4. 암호학의 미래와 양자 컴퓨터의 위협 🚀
💡 **양자 컴퓨터(Quantum Computing)**가 등장하면 기존의 암호 체계가 깨질 가능성이 있다!
✅ 양자 컴퓨터 vs. 기존 암호 시스템
- RSA 암호: 양자 컴퓨터의 쇼어 알고리즘(Shor’s Algorithm)으로 빠르게 해독 가능
- ECC(타원 곡선 암호): 양자 컴퓨터로 공격 가능
- 대칭키 암호(AES): 상대적으로 안전하지만, 더 강한 키 필요
✅ 대안: 양자 암호학(Quantum Cryptography)
- 양자 난수 생성(QRNG): 완벽한 난수를 생성하여 예측 불가능한 보안 키 제공.
- 양자 키 분배(QKD): 데이터를 물리적으로 보호하는 보안 기술.
📌 즉, 수학은 기존 암호뿐만 아니라, 양자 시대의 새로운 암호 기술을 개발하는 데 필수적이다.
수학이 없으면 암호학도 없다!
📌 암호학은 수학 없이는 불가능하다.
📌 정수론, 소수, 모듈러 연산, 해시 함수 등 다양한 수학적 개념이 암호 보안을 책임진다.
📌 양자 컴퓨터의 등장으로, 암호학과 수학은 더욱 중요해지고 있다.
🚀 “수학이 없다면 현대 보안도 없다! 암호학은 인류의 정보를 지키는 강력한 방패이다!” 🔢🔐✨